Maclaurin اور بعض افعال کی سڑن

اعلی درجے کی ریاضی کی تعلیم حاصل کر آگاہ ہم میں سے ایک بڑی تعداد کے ابسرن کے وقفہ میں ایک پاور سیریز کی رقم، وقت کی ایک مسلسل اور لامحدود تعداد ایک مختلف تقریب ہے کہ ہونا چاہئے. سوال پیدا ہوتا ہے کہ دیا ایک صوابدیدی تقریب چ بحث کرنے سے یہ ممکن ہے (X) - ایک بجلی کی سیریز کا مجموعہ ہے؟ یہی حالات ایف سواالت F (X) ایک پاور سیریز کی طرف سے نمائندگی کیا جا سکتا ہے کے تحت ہے؟ اس مسئلے کی اہمیت یہ تقریبا £ تھیولوجیکل F (X) ایک طاقت سیریز کے پہلے چند اصطلاحات کا مجموعہ ہے کو تبدیل کرنے کے لئے ممکن ہے کہ ہے کہ ایک کثیر رقمی ہے. بہپد - - اس طرح ایک متبادل تقریب بہت سادہ اظہار ہے آسان اور بعض مسائل کو حل کرنے میں ہے ، ریاضیاتی تحلیل میں یعنی حساب جب تکامل کو حل کرنے میں تفرقی مساوات ، وغیرہ ...

یہ ثابت ہو گیا ہے کہ کچھ F-II F (X)، جس میں (ن + 1) -th حکم کی ماخوذ شمار کیا جا سکتا ہے، کے ارد گرد میں تازہ ترین سمیت (α لئے - R؛ X ₀ + R) ایک نقطہ X = α کا منصفانہ فارمولہ ہے:

یہ فارمولا مشہور سائنسدان بروک ٹیلر کے نام سے منسوب کیا جاتا ہے. گزشتہ ایک سے حاصل کیا جاتا ہے جس کی ایک بڑی تعداد، ایک Maclaurin سیریز کہا جاتا ہے:

ایک Maclaurin سیریز میں توسیع پیدا کرنے کے لئے یہ ممکن بناتا ہے کہ ایک قاعدہ:

1. پہلی، دوسری، تیسری، ... حکم کی ڈیرویٹو کا تعین.
2. اوپر X = 0 ماخوذ کیا ہیں حساب لگائیں.
3. ریکارڈ Maclaurin سلسلہ اس تقریب کے لئے، اور پھر ابسرن کے وقفہ کا تعین کرنے کے لئے.
4. (؛ R -R)، فارمولا Maclaurin کا جہاں بقایا حصہ وقفہ کا تعین

آر _این (X) -> 0 ن کے لئے -> انفینٹی. ایک موجود ہے، یہ دالہ f (x) کے Maclaurin سیریز کی رقم کے برابر ہونا چاہیے.

اب انفرادی افعال کے لئے Maclaurin سیریز غور کریں.

1. اس طرح، سب سے پہلے چ جائے کی (X) = e ^{x کو.} کورس کے، کہ ایف آئی اے کے احکامات کی ایک قسم ہے، اور F ^{(K) (X)} = e ^{x اور} K تمام کے برابر ہے جہاں اخذ کیا ہے تاکہ ان کی خصوصیات فطری تعداد. متبادل X = 0. ہم F ^{(K) (0)} = ای ⁰ = 1، K = 1،2 حاصل ... پوروگامی، ای ^ایکس کی ایک بڑی تعداد کی بنیاد پر مندرجہ ذیل کے طور پر یہ ہو گا:

2. دالہ f (X) = گناہ X کیلئے Maclaurin سیریز. فوری طور پر پڑے گا، اس کے علاوہ ایف ^'(X) = کیونکہ X = گناہ (X + N / 2)، ^{کو f' '(X)} = -sin X = گناہ (X تمام نامعلوم ماخوذ لئے کہ ایف سواالت کی وضاحت + 2 * N / ²⁾ ...، F ^{(K) (X)} = گناہ (X + N * K / 2)، K کوئی مثبت عدد صحیح کے برابر ہے جہاں. یہ آسان حساب بنانے، ہے، ہم F کے سیریز (X) = گناہ X اس طرح ہو گا کہ یہ نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں:

3. اب آئی جے یو ایف ایف کیونکہ ایکس (X) = غور کریں. یہ صوابدیدی حکم کے تمام مشتقات کے لئے نامعلوم ہے، اور ^{| F (K) (X)} | = | کیونکہ (X + K * N / 2) | <= 1، K = 1،2 ... ایک بار پھر، یہ کچھ حساب ہونے بنا، ہم F کے سیریز (X) کیونکہ X = اس طرح نظر آئے گا کہ تلاش:

لہذا، ہم ایک Maclaurin سیریز میں توسیع کی جا سکتی ہے کہ سب سے اہم خصوصیات درج ہے، لیکن وہ کچھ افعال کے لئے ٹیلر سلسلہ کی تکمیل. اب ہم ان کے ساتھ ساتھ کی فہرست گا. یہ بھی ٹیلر سیریز اور Maclaurin سیریز اعلی ریاضی میں فیصلوں کی ورکشاپ سیریز کا ایک اہم حصہ ہے کہ غور کرنا چاہیے. لہذا، ٹیلر سلسلہ.

1. سب سے پہلے ایف II F (X) = LN (1 + X) کی ایک سیریز ہے. یہ ہم F (X) = LN (1 + X)، ایک بڑی تعداد جوڑ کر سکتے ہیں Maclaurin سیریز کے عام فارم کا استعمال کرتے ہوئے کے لئے گزشتہ مثالیں، میں کے طور پر. لیکن اس سہولت کے لئے Maclaurin زیادہ آسان حاصل کیا جا سکتا ہے. ایک ہندسی سلسلہ ضم، ہم F (X) ایک نمبر حاصل = LN (1 + X) نمونہ کے:

2. دوسرا اس مضمون میں حتمی ہو جائے گا جس، F (X) = arctg X کے لئے ایک سیریز ہو جائے گا. وقفہ سے تعلق رکھنے والے X کیلئے [-1؛ 1] درست سڑن ہے:

بس. اس مضمون میں میں خاص طور پر اقتصادی اور تکنیکی کالجوں میں، اعلی ریاضی میں سب سے زیادہ استعمال ٹیلر سیریز اور Maclaurin سیریز کا سروے کیا ہے.