لکیری الجبری مساوات کے نظام. لکیری الجبری مساوات کے یکساں نظام کو

اسکول میں، ہم میں سے ہر ایک مساوات مساوات کا نظام تعلیم حاصل کی اور یقینی طور پر،. لیکن بہت سے لوگ ان کو حل کرنے کے لئے کئی طریقے ہیں جانتے ہیں کہ. آج ہم لکیری الجبری مساوات، دو سے زیادہ مساوات پر مشتمل ہیں جن میں سے ایک نظام کو حل کرنے کے لئے بالکل وہی تمام طریقوں دیکھیں گے.

کہانی

آج ہم جانتے ہیں کہ مساوات اور ان کے نظام کو حل کرنے کا فن قدیم بابل اور مصر میں شروع ہوا تھا. تاہم، ان کے واقف شکل میں مساوات برابر علامت "=" ہے، جس میں انگریزی ریاضی ریکارڈ کر 1556 ء میں متعارف کرایا گیا تھا کی موجودگی کے بعد ہم پر ظاہر ہوا. ویسے، اس علامت ایک وجہ کے لئے منتخب کیا گیا تھا: یہ دو متوازی برابر طبقات کا مطلب ہے. بے شک، مساوات کی بہترین مثال نہیں آیا ہے.

جدید نقاشی کے بانی اور نامعلوم حد کے علامات، فرانسیسی ریاضی دان سے fransua ویت. تاہم، اس کے عہدہ آج سے بہت حد تک مختلف ہے. مثال کے طور پر ایک نامعلوم نمبر سے ایک مربع انہوں نے خط Q (لات "quadratus")، اور کیوب کی طرف سے نامزد - (لات "CUBUS") خط C. یہ علامات اب غیر آرام دہ لگ رہے ہو، لیکن پھر یہ لکیری الجبری مساوات کے نظام کو لکھنے کے لئے سب سے زیادہ بدیہی طریقہ تھا.

تاہم، حل کے مروجہ طریقوں میں نقصان ہے کہ ریاضی دانوں کے مثبت جڑوں کو سمجھا لیا ہے تھا. شاید اس حقیقت کو منفی اقدار کسی بھی عملی کی درخواست نہیں ہے کی وجہ سے ہے. ایک یا دوسرے راستے، لیکن سب سے پہلے منفی کی جڑیں اطالوی ریاضی نکولو Tartaglia، Gerolamo Cardano اور رافیل Bombelli 16th صدی میں کرنے کے بعد شروع ہوا سمجھا جائے. ایک جدید نظر، کو حل کرنے کا بنیادی طریقہ چکور مساوات (discriminant ذریعے) ڈیکارٹ اور نیوٹن کے کاموں کے ذریعے صرف 17th صدی میں قائم کیا گیا تھا.

18th صدی سوئس ریاضی کے وسط میں جبرائیل Cramer آسان لکیری مساوات کے نظام کے حل بنانے کے لئے ایک نیا راستہ مل گیا. یہ طریقہ بعد میں نے اس کے نام سے منسوب کیا گیا تھا، اور اس دن ہم اس کا استعمال. لیکن تھوڑی دیر بعد کریمر کی بات کے طریقہ کار پر ہے، لیکن اب کے لئے ہم نظام سے الگ الگ لکیری مساوات اور ان کے حل کے بارے میں تبادلہ خیال کریں گے.

لکیری مساوات

لکیری مساوات - متغیر (ے) کے ساتھ سادہ ترین مساوات. وہ الجبری سے تعلق رکھتے ہیں. لکیری مساوات مندرجہ ذیل کے طور عام فارم میں لکھا ہے: ایک ₁ * ₁ + _{2 *} ایکس ₂ + ... اور _این * ایکس _این = ب. اس فارم کو جمع کرانے ہم نظام کی تیاری میں ضرورت ہے اور پر قالب گا.

لکیری الجبری مساوات کے نظام

اس اصطلاح کی تعریف یہ ہے: عام unknowns کے اور عام حل ہے کہ مساوات کا ایک مجموعہ. عام طور پر، اسکول میں تمام دو یا اس سے بھی تین مساوات کے ساتھ ایک نظام کے حل. لیکن چار یا اس سے زیادہ اجزاء کے ساتھ نظام موجود ہیں. کی پہلی دیکھیں تاکہ بعد میں اس کو اسے حل کرنے کے لئے آسان تھا انہیں لکھ کیسے کر سکتے ہیں. اسی 1،2،3 اور: تمام متغیر اسی انڈیکس کے ساتھ ایکس طور پر لکھا جاتا ہے تو سب سے پہلے، لکیری الجبری مساوات کے نظام کو بہتر نظر آئے گا. دوسرا یہ کہ یہ وہیت فارم پر تمام مساوات کی قیادت کرنا چاہئے: ایک ₁ * ₁ + _{2 *} ایکس ₂ + ... اور _این * ایکس _این = ب.

ان تمام اقدامات کے بعد، ہم کس طرح لکیری مساوات کے نظام کا حل تلاش کرنے کے لئے آپ کو بتا کرنے کے لئے شروع کر سکتے ہیں. اس کے لئے بہت زیادہ آسان میٹرکس میں آ جائے گا.

میٹرکس

میٹرکس - قطار اور کالموں پر مشتمل ہوتا ہے ہے کہ ایک میز اور اس کے عناصر کو ان کے تعلق میں ہیں. یہ ایک مخصوص قدر یا متغیر یا تو ہو سکتا ہے. زیادہ تر مقدمات میں، عناصر subscripts (جیسے، ایک ₁₁ یا ₂₃ کے ساتھ ساتھ) کے نیچے کا اہتمام کر رہے ہیں کہ نامزد کرنے کے لئے. کالم - پہلی انڈیکس صف نمبر، اور دوسری طرف اشارہ کرتا ہے. اوپر اور کسی دوسرے ریاضیاتی عنصر جیسا کہ اوپر قالب مختلف آپریشنوں کو انجام دے سکتے ہیں. اس طرح، آپ کر سکتے ہیں:

1) منہا اور ٹیبل کے ایک ہی سائز میں شامل کریں.

2) کسی بھی نمبر یا ویکٹر کرنے میٹرکس ضرب.

3) بدلی: کالموں میں میٹرکس لائنوں کو تبدیل، اور کالموں - لائن میں.

4)، میٹرکس ضرب قطاروں کی تعداد ان میں سے ایک کالم کی ایک مختلف نمبر کے برابر ہے.

وہ مستقبل میں ہمارے لئے مفید ہیں کے طور پر تفصیل سے ان تراکیب کی تمام بات چیت کے لیے. باقی نکالنا اور قالب کے علاوہ بہت آسان ہے. چونکہ ہم ایک ہی سائز میٹرکس لے، ایک میز کے ہر عنصر ہر دوسرے عنصر سے متعلق ہے. اس طرح ہم کو شامل (منہا) ان عناصر میں سے دو (یہ ضروری ہے کہ وہ اپنے قالب میں ایک ہی زمین پر کھڑے تھے). میٹرکس یا ویکٹر کی تعداد سے ضرب جب آپ کو صرف اس نمبر (یا ویکٹر) کی طرف میٹرکس کے ہر عنصر ضرب. ابدال - ایک بہت دلچسپ عمل. کبھی کبھی بہت دلچسپ، حقیقی زندگی میں اس کو دیکھنے کے لئے مثال کے طور پر ایک گولی یا فون کی واقفیت کو تبدیل کرنے جب. ڈیسک ٹاپ پر شبیہیں ایک میٹرکس ہے، اور پوزیشن کی تبدیلی کے ساتھ، یہ transposed کیا جاتا ہے اور وسیع تر ہو جاتا ہے، لیکن اونچائی میں کمی واقع ہوتی ہے.

ہم سے مثلا زیادہ ایک عمل کا جائزہ لیتے ہیں میٹرکس ضرب. اگرچہ اس نے ہمیں بتایا، اور مفید نہیں ہے، لیکن معلوم ہے کہ یہ اب بھی مفید ہے، ہو. ضرب دو قالب ایک کے ٹیبل میں کالموں کی تعداد دیگر قطاروں کی تعداد کے برابر ہے کہ صرف شرط کے تحت ہو سکتا ہے. اب ایک میٹرکس لکیر عناصر اور اسی کالم کے دیگر عناصر لے. ایک دوسرے کو اور اس کے بعد رقم کے لئے ان ضرب (: ایک * ب _{11 12} + ₁₂ * B اور ₂₂ یعنی، مثال کے طور پر، عناصر ₁₁ اور ₁₂ اور ₁₂ بی اور ₂₂ ب اوپر کی پیداوار کے برابر ہو جائے _گا). اس طرح، ایک ہی میز شے ہے، اور یہ کرنے کے لئے اسی طرح کی ایک طریقہ کو مزید بھری ہوئی ہے.

اب ہم لکیری مساوات کے نظام کو حل کرنے کا طریقہ کے بارے میں غور کرنے کے لئے شروع کر سکتے ہیں.

گاؤس

اس موضوع کو سکول میں جگہ لینے کے لئے شروع کر دیا. ہم بہت اچھی طرح سے "دو لکیری مساوات کے نظام" کے تصور کو جانتے ہیں اور ان کو حل کرنے کا طریقہ معلوم ہے. لیکن مساوات کی تعداد دو سے زیادہ عظیم چیز ہے؟ اس سے ہمیں مدد ملے گی گاؤس طریقہ.

بالکل، یہ طریقہ آپ کے نظام کی ایک میٹرکس بنانے تو، استعمال کرنے کے لئے آسان ہے. لیکن تم نے اسے تبدیل اور اپنے طور پر فیصلہ نہیں کر سکتے.

تو، کس طرح لکیری مساوات گاؤس کا ایک نظام کی طرف سے اس مسئلہ کو حل کرنے کے لئے؟ ویسے، یہاں تک کہ یہ طریقہ اگرچہ اور اس کے نام سے منسوب ہے، لیکن قدیم زمانے میں یہ دریافت کیا. گاؤس بالآخر سے Echelon فارم کو سمگرتا کے نتیجے میں، مساوات کے ساتھ کئے گئے ایک آپریشن ہے. یہ ہے کہ آپ سے ایک نامعلوم ماند پڑ اوپر سے نیچے (اگر صحیح جگہ) شروع سے آخر مساوات کو کرنے کی ضرورت ہے. - تین unknowns کے، دوسری میں - تیسرے میں دو - ایک سب سے پہلے: دوسرے الفاظ میں، ہم اس بات کو یقینی بنانے کے لئے یہ ہے کہ ہم مل گیا ہے، تین مساوات ضرورت کہنا. اس کے بعد، آخری مساوات سے، ہم سب سے پہلے نامعلوم جائے، دوسری یا پہلی مساوات میں اس کی قدر متبادل، اور مزید باقی دو متغیر کو تلاش کریں.

Cramer کی حکمرانی

اس ٹیکنالوجی کی ترقی کے طور پر، اس کے علاوہ میں سے مہارت مہارت حاصل کرنے کے قالب میں سے باقی نکالنا، اسی طرح determinants کے تلاش کرنے کے قابل ہو جائے کرنے کی ضرورت اہم ہے. لہذا، اگر آپ یہ سب کر غیر آرام دہ ہو یا نہیں جانتے کہ کس طرح، تو یہ ضروری سیکھنے کے لئے اور تربیت یافتہ ہونا ہے.

اس طریقہ کار کا جوہر کیا ہے، اور ایسا کرنے کے لئے کس طرح، لکیری مساوات Cramer کا ایک نظام کو حاصل کرنے کے لئے؟ یہ بہت آسان ہے. ہم اعداد کی ایک میٹرکس (تقریبا ہمیشہ) لکیری الجبری مساوات کے نظام کا جزو عام کو تعمیر کرنے کی ضرورت ہے. ایسا کرنے کے لئے، صرف نامعلوم کی تعداد لیتے ہیں، اور ہم نے حکم ہے کہ وہ نظام میں ریکارڈ کیا جاتا ہے میں ایک میز کا بندوبست. اس سے پہلے تعداد میں ایک نشانی ہے، تو "-"، تو ہم منفی عددی سر لکھیں. لہذا، ہم، unknowns کے coefficients کی پہلی میٹرکس بنایا برابر علامت کے بعد بڑی تعداد بھی شامل نہیں (کورس کے، حق صرف ایک نمبر اور بائیں طرف ہے جب مساوات وہیت فارم کو کم کیا جا کرنے کے لئے ہے کہ - coefficients کے ساتھ تمام unknowns کے). ہر متغیر کے لئے ایک - اس کے بعد آپ کو چند قالب بنانے کے لئے کی ضرورت ہے. اس مقصد کے لئے، سب سے پہلے میٹرکس میں برابر علامت کے بعد ایک کالم کی طرف سے تبدیل کیا جاتا ہے coefficients کے ساتھ ہر کالم نمبر. اس طرح ہم نے چند قالب ہو جاؤ اور اس کے بعد ان سے determinants کو تلاش کریں.

ہم کوالیفائرز پایا کے بعد، یہ چھوٹا ہے. ہم ایک ابتدائی میٹرکس ہے، اور کئی ماخوذ قالب، مختلف متغیر کے مطابق جس سے ہیں. ایک نظام حل حاصل کرنے کے لئے، ہم ٹیبل کے بنیادی عنصر پر نتیجے میں ٹیبل کے عنصر کی تقسیم. نتیجے نمبر ایک متغیر کی قدر ہے. اسی طرح، ہم سب unknowns کے تلاش کریں.

دوسرے طریقوں

لکیری مساوات کے نظام کے حل حاصل کرنے کے لئے کئی طریقے ہیں. مثال کے طور پر جس چکوری مساوات کے نظام کا حل تلاش کرنے کے لئے بھی استعمال کیا جاتا ہے، اور ایک نام نہاد گاؤس اردن طریقہ، قالب کے استعمال سے متعلق ہے. لکیری الجبری مساوات کے نظام کو حل کرنے کے لئے ایک جیکوبی طریقہ کار بھی ہے. وہ آسانی سے تمام کمپیوٹرز کے لئے adapts اور کمپیوٹنگ میں استعمال کیا جاتا ہے.

پیچیدہ مقدمات

مساوات کی تعداد متغیر کی تعداد سے کم ہے تو پیچیدگی عام طور پر پایا جاتا ہے. پھر ہم یقینی طور پر کہہ سکتے ہیں کہ، یا نظام متضاد ہے (یعنی کوئی جڑیں ہیں)، یا اس کے فیصلوں کی تعداد انفینٹی لئے جاتا ہے. ہم دوسری صورت ہے تو - یہ لکیری مساوات کے نظام کے جنرل حل لکھنے کے لئے ضروری ہے. اس سے کم از کم ایک متغیر شامل ہوں گے.

اختتام

یہاں ہم ختم ہو. مختصر کرنے کے لئے: ہم نظام میٹرکس، لکیری مساوات کے نظام کے جنرل حل تلاش کرنے کے لئے سیکھا ہے اسے سمجھنے کی ہے. اس کے علاوہ ہم دیگر آپشنز پر غور کیا. گاشین خاتمے اور: ہم لکیری مساوات کے نظام کو حل کس طرح سوچا Cramer کی حکمرانی. ہم مشکل مقدمات اور مسائل کے حل تلاش کرنے کے دوسرے طریقوں کے بارے میں بات کی تھی.

اصل میں، یہ مسئلہ بہت زیادہ وسیع ہے، اور آپ اسے بہتر سمجھنے کے لئے چاہتے ہیں تو، ہم آپ کو خصوصی ادب کی مزید پڑھنے کے لئے مشورہ.