لکیری اور پہلا حکم کی یکساں تفرقی مساوات. حلوں کی مثالوں

میرے خیال میں ہم تفرقی مساوات کے طور پر شاندار ریاضی کے آلے کی تاریخ کے ساتھ شروع کرنا چاہئے. تمام اختلافی اور لازمی حسابان کی طرح، ان مساوات دیر 17th صدی میں نیوٹن کی طرف سے ایجاد کیا گیا. انہوں نے کہا کہ یہ ان کی دریافت کی کہ وہ بھی خفیہ کردہ پیغام، جو آج کے طور پر ترجمہ کیا جا سکتا ہے مندرجہ ذیل قدر اہم تھا خیال: "تفرقی مساوات کی طرف سے بیان فطرت کے تمام قوانین" یہ ایک مبالغہ لگتا ہے، لیکن یہ سچ ہے. فزکس، کیمسٹری، بیالوجی کے کسی بھی قانون، ان مساوات کی طرف سے بیان کیا جا سکتا ہے.

تفرقی مساوات کے اصول کی ترقی اور تخلیق کرنے کے لئے ایک بہت بڑا شراکت اویلر اور لاگرینج کی ریاضی ہے. پہلے سے 18th صدی میں وہ دریافت کیا اور اب سینئر یونیورسٹی کورسز میں زیر تعلیم ہے اس کو فروغ دیا.

تفرقی مساوات کے مطالعہ میں ایک نیا سنگ میل سے Anri Puankare کی بدولت شروع کر دیا. جگہ اور اس کے خواص کی سائنس - انہوں نے کہا کہ، پیچیدہ متغیر کی دالہ کے اصول کے ساتھ مل کر، جس ٹوپولاجی کی بنیاد میں نمایاں کردار ادا ایک "تفرقی مساوات کا صفاتی نظریہ" پیدا.

تفرقی مساوات کیا ہیں؟

بہت سے لوگ کرتے سے ڈرتے ہیں "تفریقی مساوات". تاہم، اس مضمون میں ہم باہر تفصیل سے یہ بہت مفید ریاضیاتی آلے اصل میں یہ عنوان سے لگتا ہے کے طور پر پیچیدہ نہیں ہے جس کا جوہر قائم کرے گا. ایک سب سے پہلے حکم تفرقی مساوات کے بارے میں بات کرنے کے لئے شروع کرنے کے لئے، آپ سب سے پہلے موروثی اس تعریف کے ساتھ منسلک کر رہے ہیں کہ بنیادی تصورات سے واقف کرنے کے ضروری ہے. اور ہم میں فرق کے ساتھ شروع کریں گے.

تفریقی

بہت سے لوگ ہائی اسکول کے بعد سے اس اصطلاح کو جانتے ہیں. تاہم، اب بھی تفصیل سے اس پر رہنے. تقریب کے گراف کی کلپنا کرو. ہم اس حد تک اس کے طبقہ میں سے کسی ایک براہ راست لائن ہو جاتا ہے کہ اس میں اضافہ کر سکتے ہیں. یہ ایک دوسرے کے اتنے قریب ہیں کہ دو پوائنٹس لے لیں گے. ان نقاط (X یا Y) کے درمیان فرق لامتناہیتی ہے. اور یہ تفریقی کہا جاتا ہے اور حروف DY (Y کی تفریقی) اور DX (X کے تفریقی) نامزد. ایسا لگتا ہے کہ فرق کے حتمی قیمت نہیں ہے سمجھنے کے لئے ضروری ہے، اور اس کے معنی اور اہم تقریب ہے.

اور اب آپ کو ہم تفرقی مساوات کے تصور کی وضاحت کرنے کی ضرورت ہوگی مندرجہ ذیل عناصر پر غور کرنا ضروری ہے. یہ - استخراجی.

استخراجی

ہم سب کو اسکول اور اس تصور میں تو سنا ہی ہوگا. ان کا کہنا ہے کہ استخراجی - ترقی یا تقریب کی کمی کی شرح ہے. تاہم، یہ تعریف زیادہ مبہم ہو جاتا ہے. ہم سے متنوع کا مشتق شرائط کی وضاحت کرنے کی کوشش کریں. کی ایک دوسرے سے ایک کم از کم فاصلے پر واقع ہیں جس میں دو پوائنٹس کے ساتھ لامتناہیتی وقفہ تقریب میں واپس چلتے ہیں. لیکن پھر بھی اس فاصلے تقریب سے باہر کچھ قیمت کے لئے تبدیل کرنے کا وقت ہے. اور اس تبدیلی کی وضاحت اور مشتق دوسری صورت میں متنوع کے تناسب کے طور پر لکھا جائے گا کہ ساتھ آنے کے لئے: (X) '= DF / DX ایف.

اب یہ اخذ کی بنیادی خصوصیات پر غور کرنے کے لئے ضروری ہے. تین صرف موجود ہیں:

1. استخراجی رقم یا فرق رقم یا فرق ماخوذ کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے: (ا + ب) + B '، اور (AB)' = a'-B '' ایک = '.
2. دوسری املاک ضرب کے ساتھ منسلک ہے. - استخراجی کام کسی دوسرے مشتق کو ایک تقریب کے کاموں کا مجموعہ ہے: (ایک * ب) * ب + ایک * ب '' ایک = '.
3. (A / B) '=: فرق کا مشتق درج ذیل مساوات کے طور پر لکھا جا سکتا ہے / ب (ا' * BA * ب ') ^2.

یہ تمام خصوصیات کے پہلے حکم کی مساوات فرق کا حل تلاش کرنے کے لئے ہاتھ میں آئے.

اس کے علاوہ، جزوی ماخوذ ہوتے ہیں. ہم متغیر X اور Y پر منحصر ہے جس میں Z، کی ایک تقریب ہے مان لیں. اس تقریب کا جزوی مشتق کو شمار کرنے کے لئے، مثال کے طور پر، X میں، ہم مسلسل اور فرق کرنا آسان کے لئے متغیر Y لینے کی ضرورت ہے.

لازمی

ایک اور اہم تصور - لازمی. اصل میں یہ مشتق کے برعکس ہے. تکامل کئی اقسام ہیں، لیکن تفرقی مساوات کا آسان ترین حل، ہم سب سے زیادہ معمولی ضرورت غیرواضح تکامل.

لہذا، لازمی بات ہے؟ چلو ہم ایف ایکس کے کچھ رشتہ ہے کہنے دو. ہم نے اس سے لازمی لے اور ایک تقریب F (X) (یہ اکثر ایک آدم کے طور پر کہا جاتا ہے)، اصل تقریب کا مشتق ہے جس کے حاصل کرتے ہیں. لہذا F (X) '= F (X). یہ بھی مطلب ہے مشتق کا اٹوٹ اصل فعل کے برابر ہے.

تفرقی مساوات کو حل کرنے میں یہ لازمی کے معنی اور تقریب کو سمجھنے کے لئے بہت اکثر حل تلاش کرنے کے لئے انہیں لے کر جانا ہے کے بعد سے بہت اہم ہے.

مساوات ان کی نوعیت کے لحاظ سے مختلف ہیں. اگلے حصے میں ہم سب سے پہلے حکم تفرقی مساوات کی اقسام پر نظر ڈالیں، اور پھر ان کو حل کرنے کا طریقہ سیکھیں گے.

تفرقی مساوات کی کلاسز

"Diffury" ان میں ملوث ماخوذ کی ترتیب کی طرف سے تقسیم کیا گیا. اس طرح ایک کی پہلی، دوسری، تیسری یا اس سے زیادہ کے حکم موجود ہے. عام اور جزوی: وہ بھی کئی قسموں میں تقسیم کیا جا سکتا ہے.

اس مضمون میں، ہم سب سے پہلے حکم کی عام تفرقی مساوات پر غور کریں گے. مثالیں اور مسائل کے حل ہم نے مندرجہ ذیل حصوں میں بات چیت. یہ مساوات کے سب سے زیادہ عام اقسام ہے کیونکہ ہم صرف دوسس غور کریں. اقسام پائی جاتی میں عام تقسیم کیا گیا: سیپارابلی متغیر، یکساں اور متفاوت ساتھ. اگلا، دوسرا آپ کس طرح وہ ایک دوسرے سے مختلف سیکھتے ہیں، اور ان کو حل کرنے کا طریقہ سیکھیں گے.

اس کے علاوہ، ان مساوات ہم سب سے پہلے حکم کی تفرقی مساوات کے نظام کو حاصل کرنے کے بعد، تاکہ مل کر کیا جا سکتا ہے. اس طرح کے نظام، ہم بھی دیکھو اور کو حل کرنے کا طریقہ سیکھنے.

ہم کیوں صرف پہلا حکم پر غور کر رہے ہیں؟ یہ کسی ایک مضمون میں، ایک سادہ کے ساتھ شروع کریں اور تفرقی مساوات کے ساتھ منسلک تمام کو بیان کرنا ضروری ہے کیونکہ یہ ناممکن ہے.

سیپارابلی متغیر کے ساتھ مساوات

یہ شاید سب سے آسان سب سے پہلے حکم تفرقی مساوات ہے. Y '= F (X) * F (Y): ان کے طور پر لکھا جا سکتا ہے کہ مثالیں ہیں. Y '= DY / DX: اس مساوات کو حل کرنے کے لیے ہم متنوع کے تناسب کے طور پر اخذ کی نمائندگی فارمولے کی ضرورت ہے. DY / DX = F (X) * F (Y): اس کے ساتھ ہم مساوات حاصل کرتے ہیں. حصوں میں، یعنی تیزی سے آگے تمام متغیر Y DY نہیں ہے جہاں ایک حصے میں الگ متغیر ہے، اور بھی متغیر x بنانے ...: اب ہم معیاری مثالیں حل کرنے کے طریقہ کار کو تبدیل کر سکتے ہیں DY / عورت (Y) = F (X) DX، دو حصوں پر تکامل لینے کی طرف سے حاصل کیا جاتا ہے جس میں: ہم فارم کی ایک مساوات حاصل کرتے ہیں. مسلسل کے بارے میں مت بھولنا کہ آپ کے انضمام کے بعد ڈال کرنا چاہتے ہیں.

کسی بھی "diffura" کا حل - Y کی طرف سے ایکس کی ایک تقریب (ہمارے معاملے میں) ہے، یا ایک عددی شرط ہے تو اس کا جواب ایک نمبر ہے. ہمیں ایک ٹھوس مثال کے فیصلے کے پورے کورس کا جائزہ لیتے ہیں:

Y '= 2Y * گناہ (X)

مختلف سمتوں میں متغیر کی منتقلی:

DY / Y = 2 * گناہ (X) DX

ابھی تکامل لے. ان میں سے سب تکامل کی ایک خاص ٹیبل میں پایا جا سکتا ہے. اور ہم کو ملتا ہے:

LN (Y) = -2 * کیونکہ (X) + C

اگر ضرورت ہو تو، ہم "X" کی ایک تقریب کے طور پر "Y" کا اظہار کر سکتے ہیں. اب ہم کہہ سکتے ہیں کہ ہماری تفرقی مساوات، حل کیا جاتا ہے کی حالت کی وضاحت نہیں کی ہے تو. مثال، Y (N / 2) = ای کے لئے، شرط مخصوص کر سکتے ہیں. پھر ہم صرف فیصلے میں ان متغیرات کی قدر متبادل اور مسلسل کی قدر مل جائے گا. ہماری مثال میں، یہ 1 ہے.

یکساں پہلے حکم تفرقی مساوات

ابھی زیادہ پیچیدہ حصوں پر. 'Y = Z (X، Y): یکساں پہلے حکم تفرقی مساوات کے طور پر عام شکل میں لکھا جا سکتا ہے. واضح رہے کہ دو متغیر کی صحیح تقریب وردی ہے غور کرنا چاہیے، اور اس کی بنیاد پر دو حصوں میں تقسیم نہیں کیا جا سکتا: Z X اور Y کی Z. چاہے مساوات یکساں ہے یا نہیں کی جانچ پڑتال کریں، بہت آسان ہے: ہم متبادل X = K * x اور y = K * Y بناتے ہیں. اب ہم سب K کاٹ. ان خطوط گرا رہے ہیں، تو مساوات یکساں اور محفوظ طریقے سے اس کے حل کے لئے آگے بڑھنے کر سکتے ہیں. مستقبل میں، ہم کہتے ہیں: ان مثالوں کے حل کے اصول بھی بہت آسان ہے.

، Y = T (X) * ایکس جہاں ٹی - بھی ایکس پر انحصار کرتا ہے کہ ایک تقریب: ہم متبادل بنانے کی ضرورت ہے. Y '= T' (X) * ایکس + T: پھر ہم اخذ اظہار کر سکتے ہیں. ہمارے اصل مساوات میں یہ سب لگایا اور اس کو آسان بنانے، ہم ایکس طور متغیر ٹی کی علیحدگی کی مثال ہے. اسے حل اور T (X) کا انحصار حاصل کرتے ہیں. ہم اسے مل گیا تو، صرف ہمارے گزشتہ متبادل Y = T (X) * ایکس متبادل. پھر ہم X پر y کا انحصار حاصل کرتے ہیں.

اس کو واضح کرنے کے لئے، ہم ایک مثال سمجھ جائیں گے: X * Y '= YX * ای Y / ایکس.

تمام زوال پذیر کی تبدیلی کی جانچ پڑتال جب. لہذا، مساوات واقعی یکساں ہے. ابھی ایک اور متبادل بنانے، ہم کے بارے میں بات: Y = T (X) * X اور Y '= T' (X) * ایکس + T (X). آسان بنانے کے بعد درج ذیل مساوات: T '(X) * X = -e ٹی. ہم الگ متغیر کے ساتھ ایک نمونہ حاصل کرنے کا فیصلہ کرتے ہیں اور ہم ^{کو ملتا ہے: ای -t = LN (C *} X). ہم صرف کی طرف سے T تبدیل کرنے کی ضرورت Y / X (Y Y ٹی * X = کیونکہ اگر، اس کے بعد T = / X)، اور ہم نے ^{اس کا جواب} ملتا ^{ہے: ای -y / X = LN (} ایکس * C).

پہلے حکم کے لکیری تفرقی مساوات

یہ ایک اور وسیع موضوع پر غور کرنے کا وقت ہے. ہم متفاوت پہلے حکم تفرقی مساوات نظر آئے گا. وہ کس طرح پچھلے دو سے مختلف کیوں ہیں؟ چلو اس کا سامنا. مساوات کی عام شکل میں لکیری پہلے حکم تفرقی مساوات یوں لکھا جا سکتا ہے: Y '+ G (X) * Y = Z (X). یہ واضح کیا جانا چاہئے کہ Z (X) اور g (x) کے مسلسل اقدار ہو سکتا ہے.

- Y * X = Y ': یہ ایک مثال ہے ایکس ^2.

کو حل کرنے کے دو طریقے ہیں، اور ہم ہمارے ان دونوں کا جائزہ لیتے ہیں حکم. سب سے پہلے - صوابدیدی ثابت قدم کی تبدیلی کے طریقہ کار.

اس انداز میں مساوات کو حل کرنے کے لئے، یہ صفر کے پہلے دائیں ہاتھ کی طرف برابر، اور حصوں میں ٹرانسفر ہو جاتا ہے کے بعد جس کے نتیجے میں مساوات کو حل کرنے کے لئے ضروری ہے:

Y '= Y * ایکس؛

DY / DX = Y * ایکس؛

DY / Y xdx =؛

LN | Y | = X ^2/2 + C؛

Y = ای ^{X2 / 2} * ^سی Y = C ₁ * ای ^{X2 / 2.}

اب یہ تقریب V (X)، جو ہم مل جائے گا پر مسلسل C ₁ تبدیل کرنے کے لئے ضروری ہے.

Y = V * ای ^{X2 / 2.}

ایک متبادل اخذ ڈرا:

^{Y '= V' * ای X2} / ² -x * V * ای ^{X2 / 2.}

اور اصل مساوات میں ان کے تاثرات substituting کی:

V '* ای ^{X2 / 2} - ایکس * V * ای ^{X2 / 2} + X * V * ای ^{X2 / 2} = X ^2.

آپ دو شرائط کے بائیں جانب میں کم کر رہے ہیں کہ دیکھ سکتے ہیں. کچھ مثال نہیں ہوا کہ تو، پھر آپ کو کچھ غلط کیا ہے. ہم کرنے کے لئے جاری:

V '* ای ^{X2 / 2} = X ^2.

اب ہم آپ کو متغیر الگ کرنا چاہتے ہیں جس میں ہمیشہ کی طرح مساوات کو حل:

DV / DX = X ^{2 /} E ^X2 / ^2؛

DV = X ² * ای ^{- X2 / 2} DX.

اٹوٹ کو دور کرنے کے لئے، ہم یہاں کچھ حصوں کی طرف سے انضمام پر لاگو ہے. تاہم، یہ اس مضمون کا موضوع نہیں ہے. آپ دلچسپی رکھتے ہیں تو، آپ کو اس طرح کے افعال انجام دینے میں اپنے طور پر جان سکتے ہیں. یہ مشکل نہیں ہے، اور کافی مہارت اور دیکھ بھال کے ساتھ وقت خرچ نہیں ہے.

برنولی کا طریقہ: دوسرا طریقہ کو inhomogeneous مقدار مساوات کے حل کا حوالہ دیتے ہوئے. کیا نقطہ نظر تیز اور آسان ہے - یہ آپ پر منحصر ہے.

Y = K * N: لہذا، اس طریقہ کار کو حل کرتے ہیں، ہم متبادل بنانے کی ضرورت ہے. یہاں، K اور این - بعض افعال X پر منحصر ہے. اس کے بعد اخذ طرح نظر آئے گا: Y '= K' * ن + K * این. مساوات میں بدل دو بدل:

K '* ن + K * N ' + X * K * N = X ^2.

گروپ اپ:

K '* ن + K * ( این + X * N) = X ^2.

اب یہ ہے کہ قوسین میں ہے صفر کے برابر کرنے کے لئے ضروری ہے. اب، آپ کو دو نتیجے مساوات یکجا ہیں، تو ہم سب سے پہلے حکم تفرقی مساوات کے نظام کو حل کیا جا کرنے کے لئے حاصل:

این + X * N = 0؛

K '* N = X ^2.

پہلی مساوات میں کس طرح معمول مساوات کا فیصلہ. ایسا کرنے کے لئے، آپ متغیر الگ کرنے کی ضرورت ہے:

DN / DX = X * V؛

DN / N = xdx.

ہم لازمی لے اور ہم کو حاصل: LN (N) = X ^2/2. اس کے بعد، ہم ن کا اظہار کرتے ہیں تو:

ن = ای ^{X2 / 2.}

ابھی دوسری مساوات میں کے نتیجے میں مساوات کا متبادل:

K '* ای ^{X2 / 2} = X ^2.

اور تبدیل، ہم سب سے پہلے طریقہ کے طور پر ایک ہی مساوات حاصل:

DK = X ^{2 /} E ^X2 / ^2.

ہم نے بھی مزید کارروائی پر تبادلہ خیال نہیں آئے گا. کہا جاتا ہے کہ سب سے پہلے سب سے پہلے حکم تفرقی مساوات میں حل کافی مشکلات کا سبب بنتا ہے. تاہم، موضوع میں ایک گہری وسرجن بہتر سے بہتر حاصل کرنے کے لئے شروع کر رہا ہے.

تفرقی مساوات کہاں ہیں؟

طبیعیات میں استعمال بہت فعال تفرقی مساوات، کے تقریبا تمام بنیادی قوانین تفریقی شکل میں لکھے جاتے ہیں، اور ان لوگوں کے فارمولوں، ہم دیکھتے ہیں کہ - ان مساوات کا حل. کیمسٹری میں، وہ ایک ہی وجہ کے لئے استعمال ہوتے ہیں: بنیادی قوانین ان کے ذریعے حاصل کیا جاتا ہے. شکار - حیاتیات میں، تفرقی مساوات جیسے شکاری کے نظام، کے رویے ماڈل استعمال کیا جاتا ہے. انہوں نے یہ بھی مثال کے طور پر سوکشمجیووں کی کالونیوں پنروتپادن کی ماڈل تخلیق کرنے کے لئے استعمال کیا جا سکتا ہے.

تفرقی مساوات کی زندگی میں مدد کے طور پر؟

اس سوال کا جواب بہت سادہ ہے: کچھ بھی نہیں. آپ ایک سائنسدان یا انجینئر نہیں ہیں، تو، یہ ہے کہ وہ مفید ہو گا امکان نہیں ہے. تاہم، کیا تفرقی مساوات کو جاننا چوٹ نہیں اور یہ مجموعی طور پر ترقی کے لئے حل ہے. اور پھر ایک بیٹا یا بیٹی کے سوال "کیا ایک تفرقی مساوات؟" ایک مردہ آخر میں آپ کو ڈال نہیں ہے. ٹھیک ہے، اگر آپ کو ایک سائنسدان یا انجنیئر ہیں، تو آپ کو کسی بھی سائنس میں اس موضوع کی اہمیت کو جانتے ہیں. لیکن سب سے اہم بات، اب سوال ہے کہ "میں کس طرح سب سے پہلے حکم کی تفرقی مساوات کو حل کرنے کے لئے؟" آپ ہمیشہ اس کا جواب دینے کے لئے قابل ہو جائے گا. اتفاق کرتا ہوں، جو تم کیا لوگوں کو باہر تلاش کرنے کے لئے بھی خوفزدہ ہیں کہ احساس جب ہمیشہ اچھا ہے.

مطالعہ میں اہم مسائل

اس موضوع کی تفہیم میں اہم مسئلہ انضمام اور تفرق دالہات کا بری عادت ہے. آپ کو غیر آرام دہ ہو ماخوذ اور تکامل فرض، یہ شاید انضمام اور تفرق کے مختلف طریقوں میں جاننے کے لئے، جاننے کے لئے زیادہ قابل ہے، اور صرف اس مضمون میں بیان کیا گیا ہے کہ اس مواد کے مطالعہ کے لئے آگے بڑھنے.

کچھ لوگ حصہ DY / DX ناقابل تقسیم ہے کہ دلیل دی ہے کہ DX منتقل کیا جا سکتا ہے جاننے کے لئے حیران ہیں کے طور پر ماضی میں (اسکول میں). اس کے بعد آپ اور استخراجی پر ادب کو پڑھنے کے لئے کی ضرورت کو سمجھ یہ infinitely چھوٹے مقدار، مساوات کو حل کرنے میں توڑ کیا جا سکتا ہے جس کا رویہ ہے.

یہ اکثر ایک تقریب یا neberuschiysya لازمی ہے، اور اس دھوکے انہیں بہت تکلیف دیتا ہے - بہت سے لوگ فوری طور پر سب سے پہلے حکم کی تفرقی مساوات کا حل ہے کہ احساس نہیں ہے.

اور کیا بہتر سمجھنے کے لئے تعلیم حاصل کی جا سکتی ہے؟

یہ مزید وسرجن، مثال کے طور پر خصوصی درسی کتابوں کی تفریقی حسابان کی دنیا میں شروع کرنے کے لئے غیر ریاضیاتی خصوصیات کے طالب علموں کے لئے ریاضی کے تجزیہ میں سب سے بہتر ہے. اس کے بعد آپ زیادہ خصوصی لٹریچر پر منتقل کر سکتے ہیں.

اس فرق کے علاوہ میں، لازمی مساوات اب بھی موجود ہیں، جو کہ کہا جاتا ہے، لہذا آپ کو ہمیشہ کے لئے کوشش کرنے کے لئے کچھ اور کیا مطالعہ کرنے کے لئے پڑے گا.

اختتام

ہمیں امید ہے کہ اس مضمون کو پڑھنے کے بعد آپ کو تفرقی مساوات اور صحیح طریقے سے ان کو حل کرنے کا طریقہ کیا ہے ایک خیال پڑے گا امید ہے.

کسی بھی صورت میں، زندگی میں ہمارے لئے مفید کسی بھی طرح سے ریاضی. یہ منطق اور توجہ، ہاتھوں کے بغیر کے طور پر جس کے بغیر ہر شخص، تیار کرتا ہے.