متنوع - یہ کیا ہے؟ کس طرح تقریب کے تفریقی تلاش کرنے کے لئے؟

مشتقات کے ساتھ ساتھ ان کے افعال متنوع - یہ بنیادی تصورات میں سے کچھ تفریقی حسابان کا بنیادی سیکشن ریاضیاتی تحلیل کی. پیچیدہ انداز میں جڑے طور پر، ان دونوں نے کئی صدیوں وسیع پیمانے پر سائنسی اور تکنیکی سرگرمی کے دوران میں پیدا ہونے والے تقریبا تمام مسائل کو حل کرنے میں استعمال کیا.

تفریقی کے تصور کا خروج

پہلی بار یہ واضح ہے کہ اس طرح کا فرق، بانیوں میں سے ایک (Isaakom Nyutonom کے ساتھ ساتھ) تفریقی حسابان مشہور جرمن ریاضی دان Gotfrid Vilgelm Leybnits بنایا. کہ 17th صدی ریاضی دانوں سے پہلے. تقریب کو صرف نہیں ہو سکتا اقدار جس کے نیچے ایک بہت چھوٹا سا مسلسل قیمت لیکن صفر کے برابر نہیں، نمائندگی، کسی بھی نام سے جانا جاتا تقریب کے کچھ لامتناہیتی "غیر منقسم" کی بہت غیر واضح اور مبہم خیال کا استعمال کیا. لھذا اس سے یہ تقریب دلائل اور افعال مؤخر الذکر کے ماخوذ کے لحاظ سے اظہار کیا جا سکتا ہے کہ ان کے متعلقہ increments کے لامتناہیتی اضافوں کے تصور کو متعارف کرانے کے لئے صرف ایک قدم تھا. اور یہ قدم تقریبا بیک وقت مندرجہ بالا دو عظیم سائنسدانوں جایا گیا.

سائنس کا سامنا ہے کہ فوری طور پر عملی میکینکس کے مسائل کو حل کرنے کی ضرورت پر مبنی تیزی سے صنعت اور ٹیکنالوجی کی ترقی، نیوٹن اور لائیبنز، اس طرح کے تصورات کو متعارف کرانے کے لئے کی قیادت کی جس میں، (خاص طور پر جانا جاتا ہے رفتار کے جسم کی میکانی رفتار کے حوالے سے) تبدیلی کی شرح کے افعال کو تلاش کرنے کے عام طریقے سے پیدا مشتق اور ویبھیدک کے طور پر، اور یہ بھی کے طور پر جانا جاتا SE فی (متغیر) الگورتھم الٹا مسئلہ کے حل کے راستے اٹوٹ کے تصور کی وجہ سے ہے کہ تلاش کرنے کے لئے طے رفتار پایا الاعلی.

لائیبنز اور نیوٹن کے خیال کے کاموں میں سب سے پہلے یہ ظاہر ہوا ہے کہ فرق - بنیادی دلائل کی اضافہ Δh کامیابی سے مؤخر الذکر کی قیمت کا حساب پر لاگو کیا جا سکتا ہے کہ Δu افعال دھیرے بڑھتا متناسب ہے. Δh → طور صفر کی دیکھ بھال، باقی - دوسرے الفاظ میں، وہ ایک اضافہ کی تقریب (تعریف کی اس کے ڈومین میں) کسی بھی موڑ پر ہو سکتا ہے کہ دریافت کر لیا ہے اس کا مشتق Δu = Y '(x) کے Δh + αΔh دونوں جہاں α Δh ذریعے ظاہر کیا جاتا ہے 0، اصل Δh مقابلے میں بہت تیز.

ریاضی تجزیہ کے بانیوں کے مطابق، متنوع - یہ بالکل کسی بھی افعال میں دھیرے بڑھتا میں پہلی اصطلاح ہے. یہاں تک کہ ایک واضح حد تصور انداز intuitively پر سمجھ رہے ہیں اخذ کی تفریقی قدر کام کرنے کے لئے جاتا ہے کہ بغیر جب Δh → 0 - Δu / Δh → Y '(x) کے.

بنیادی طور پر ایک ماہر طبیعیات اور جسمانی مسائل کے مطالعہ کے لئے ایک معاون آلہ کے طور پر تصور کیا جاتا ریاضی اپریٹس تھا جو نیوٹن، کے برعکس، لائیبنز، اس ٹول کٹ پر زیادہ توجہ ادا کی بصری اور قابل فہم علامتوں ریاضیاتی اقدار کا ایک نظام بھی شامل ہے. اس متنوع تقریب DY کے معیاری سنکیتن تجویز پیش کی جو = Y '(x) کے DX، DX، اور ان کے تعلقات Y کے طور پر دلیل دالہ کا مشتق' (X) = DY / DX وہ تھا.

جدید تعریف

جدید ریاضی کی اصطلاحات میں فرق کیا ہے؟ یہ قریبی ایک متغیر اضافہ کے تصور سے متعلق ہے. متغیر Y Y Y = ₁ کی پہلی قدر لے _تو اس کے بعد Y = Y _2، فرق Y ₂ ─ Y ₁ اضافہ قدر Y کہا جاتا ہے. اضافہ مثبت ہو سکتا ہے. منفی اور صفر. لفظ "اضافہ" کی ریکارڈنگ Δ، Δu نامزد کیا جاتا ہے (پڑھا 'ڈیلٹا Y') اضافہ Y کی قدر کرنا. تاکہ Δu = Y ₂ ─ Y _1.

Δh → 0 جاتا ہے جب قدر Δu صوابدیدی دالہ y = F (X) Δu = A Δh + α، A Δh پر کوئی انحصار، T ہے جہاں کے طور پر ظاہر کیا جا سکتا ہے. دیئے X کیلئے E. A = CONST، اور اصطلاح α یہ ظاہر کیا اصل Δh، تو سب سے پہلے ( "ماسٹر") ایک اصطلاح متناسب Δh سے بھی تیز ہے، اور y = F (X) اوکل کے لئے ہے، DY یا DF (X) ( "Y ڈی"، "ڈی EFF X سے" پڑھیں). لہذا فرق - دھیرے بڑھتا Δh افعال کے تمام اجزاء کے لئے احترام کے ساتھ ایک "اہم" لکیری.

میکانی وضاحت

منتقل ایک براہ راست لائن میں دوری - S F (T) = دو مادی نقطہ (- سفر کے وقت T) ابتدائی پوزیشن سے. اضافہ Δs - ایک وقت کا وقفہ Δt دوران راستے نقطہ ہے، اور تفریقی DS = ƒ '(ٹی) Δt - اس کا راستہ، جس نقطہ پر ایک ہی وقت کے لئے منعقد کی جائے گی Δt، یہ رفتار چ برقرار رکھا تو' (ٹی)، وقت ٹی اوپر تک پہنچ گئی . ایک لامتناہیتی Δt DS خیالی راہ اصل Δs infinitesimally Δt کے لئے احترام کے ساتھ ایک اعلی کے حکم رکھنے سے مختلف ہے جب. وقت ٹی اوپر کی رفتار صفر کے برابر نہیں ہے تو، اندازا قدر DS چھوٹے تعصب نقطہ دیتا ہے.

ستادوستیی تشریح

لکیر L Y = F (X) کا مخطط ہے دو. پھر Δ X = MQ، Δu = QM '(ذیل اعداد و شمار دیکھ.). مماس MN Δu دو حصوں، QN اور NM 'میں کاٹ ٹوٹ جاتا ہے. پہلا اور Δh ہے متناسب QN = MQ TG (زاویہ QMN) = Δh چ '(X)، ٹی ای QN DY تفریقی ہے ∙.

فرق Δu NM'daet ─ DY جب Δh → 0 NM لمبائی '، دلیل کے اضافہ سے بھی تیز کمی واقع ہوتی ہے کے دوسرے حصے یعنی یہ کے smallness Δh سے زیادہ کے حکم کی ہے. اس صورت میں، کو f '(x) کے ≠ 0 (غیر متوازی مماس بیل) طبقات QM'i QN برابر ہے تو؛ دوسرے الفاظ میں NM 'تیزی کل اضافہ Δu = QM سے زیادہ (اس کے اعلی کے کے smallness کے حکم) میں کمی واقع ہوتی'. یہ اعداد و شمار (قریب طبقہ M'k ایم NM'sostavlyaet تمام چھوٹے تناسب QM 'طبقہ) میں واضح ہے.

لہذا، گراف فرق صوابدیدی تقریب مماس کا مربوط کا اضافہ کے برابر ہے.

استخراجی اور ویبھیدک

اظہار اضافہ کی تقریب کی پہلی مدت میں ایک عنصر اس کا مشتق ƒ '(X) کی قدر کے برابر ہے. اس طرح، مندرجہ ذیل سلسلے - DY = ƒ '(x) کے Δh یا DF (X) = ƒ' (x) کے Δh.

یہ معلوم ہے آزاد دلیل کے اضافہ سے اس میں فرق Δh = DX کے برابر ہے. اس کے مطابق، ہم لکھ سکتے ہیں: f '(x) کے DX = ڈپٹی

کی تلاش (کبھی کبھی "فیصلہ" ہونے کے لئے کہا) متنوع مشتقات کے طور پر ایک ہی اصول کی طرف سے کارکردگی کا مظاہرہ کر رہا ہے. ان میں سے ایک فہرست ذیل میں دی جاتی ہے.

کیا زیادہ آفاقی ہے: دلیل یا اس اوکل کا اضافہ

یہاں یہ کچھ وضاحت کرنے کے لئے ضروری ہے. نمائندگی قدر ƒ '(x) کے تفریقی Δh ممکن ایک دلیل کے طور پر ایکس غور کر جب. لیکن تقریب X دلیل ٹی کی ایک تقریب بھی ہو سکتا ہے جس میں ایک پیچیدہ، ہو سکتا ہے. پھر چ '(x) کے Δh کی تفریقی اظہار رائے کی نمائندگی، ایک اصول کے طور پر، یہ ناممکن ہے؛ لکیری انحصار X = + ب پر کی صورت میں سوائے.

فارمولا چ کرنے جیسا '(x) کے DX = DY، پھر ایکس ٹی کی پیرامیٹرک انحصار کے معاملے میں آزاد دلیل X کی صورت (پھر DX = Δh) میں، جو تفرقی کا ہے.

مثال کے طور پر اظہار 2 ایکس Δh Y = X ² اس اوکل ایکس ایک دلیل ہے جب کے لئے ہے. اب X = T ² اور ہم ٹی دلیل فرض. اس کے بعد Y = X ² = T ^4.

یہ (T + Δt) ² = T ² + 2tΔt + Δt ² کی طرف سے پیروی کی جاتی ^ہے. لہذا Δh = 2tΔt + Δt ^2. لہذا: 2xΔh = 2T ² (2tΔt + Δt ^2).

یہ اظہار Δt کے متناسب نہیں ہے، اور اس وجہ سے اب 2xΔh فرق نہیں ہے. اس مساوات Y = X ² = T ⁴ سے مل سکتی ^ہیں. یہ برابر DY = 4T ³ Δt ہے.

ہم اظہار 2xdx لے، تو یہ تفریقی Y = X ² کسی بھی دلیل ٹی کے لئے ہے. درحقیقت، جب X = T ² حاصل DX = 2tΔt.

لہذا 2xdx = 2T ² 2tΔt = 4T ³ .DELTA.t، ٹی. E. دو مختلف متغیر کی طرف سے ریکارڈ اظہار متنوع موافق.

اضافوں متنوع بدلنا

F تو '(x) کے ≠ 0، پھر Δu اور DY برابر (جب Δh → 0)؛ اگر ƒ '(X) = 0 (معنی اور DY = 0)، وہ برابر نہیں ہیں.

مثال کے طور ^پر، Y = X ² پھر Δu = (X + Δh) ² ─ ایکس ² = 2xΔh + Δh ² اور DY اگر = 2xΔh. اگر X = 3، پھر ہم X = 0 قدر Δu = Δh ² اور DY = 0 کے برابر نہیں ہیں، جب Δu = 6Δh + Δh ² اور DY = 6Δh وجہ Δh ² → 0 کے برابر ہیں کہ، ہے.

یہ حقیقت، تفریقی کے سادہ ساخت کے ساتھ مل کر (میٹر. Δh لئے احترام کے ساتھ E. لکیری)، اکثر اندازا حساب کتاب میں مفروضہ پر استعمال کیا جاتا ہے، چھوٹے Δh لئے Δu ≈ DY ہے. تفریقی تقریب عام طور پر اضافہ کی صحیح قیمت کا حساب کرنے کے لئے زیادہ آسان ہے تلاش کریں.

مثلا، ہم کنارے کے ساتھ دھاتی کیوب ہے X = 10.00 سینٹی میٹر. برتری Δh = 0.001 سینٹی میٹر. میں اضافہ کس طرح حجم کیوب وی پر lengthened کیا حرارتی پر؟ ^ہم V = X ² ہے کہ DV = اتارنا 3x ² = Δh 3 ∙ ∙ فروری ¹⁰ 0/01 = 3 (سینٹی میٹر ^{3) تاکہ.} اضافہ ΔV برابر تفریقی DV، تاکہ ΔV = 3 سینٹی میٹر ^3. مکمل حساب کتاب دے گی ³ ΔV = 10،01 ─ ¹⁰ مارچ = 3.003001. لیکن سب سے پہلے غیر معتبر علاوہ تمام ہندسے کا نتیجہ؛ لہذا، یہ 3 سینٹی میٹر سے ³ کی پکڑ دھکڑ کے لئے اب بھی ضروری ^ہے.

ظاہر ہے، اس نقطہ نظر یہ قدر غلطی سے دی اندازہ لگانے کے لئے ممکن ہے کہ صرف اس صورت میں مفید ہے.

اختلافی فنکشن: مثالوں

کی مشتق ^{ڈھونڈنے،} دالہ y = X ³ تفریقی تلاش کرنے کی کوشش کرتے ہیں. ہماری دلیل اضافہ Δu دے اور وضاحت کرتے ہیں.

Δu = (Δh + X) ³ ─ ایکس ³ = اتارنا 3x ² + Δh (Δh 3xΔh ² + ^3).

یہاں، گتانک A = اتارنا 3x ² تا کہ پہلی مدت متناسب Δh، دوسرے رکن 3xΔh Δh ² + ³ ہے، Δh پر منحصر نہیں ہے Δh → 0 دلیل کے اضافہ کے مقابلے میں تیزی سے کمی واقع ہوتی ہے جب. نتیجتا، اتارنا 3x ² Δh کے ایک رکن Y = X ³ کا تفرقی کا ^ہے:

DY = اتارنا 3x ² Δh = اتارنا 3x ² DX یا د (X ³⁾ = اتارنا 3x ² DX.

جس میں ڈی (X ³⁾ / DX = اتارنا 3x ^2.

ڈپٹی اب ہم مل دالہ y = 1 / اخذ کر ایکس. تب د (1 / X) / DX = ─1 / ایکس ^2. لہذا DY = ─ Δh / ایکس ^2.

متنوع بنیادی الجبری افعال درج ذیل ہیں.

تفرقی کا استعمال کرتے ہوئے تقریبا شماروں

دالہ f (x) کے اندازہ کرنے کے لئے، اور اس کا مشتق ƒ '(X) X = ایک اکثر مشکل ہے، لیکن میں ایکس = ایک علاقے میں بھی ایسا ہی کرنے کے لئے آسان نہیں ہے. پھر اندازا اظہار رائے کی مدد کے لئے آئے

F (ا + Δh) ≈ چ '(الف) Δh + F (ا).

یہ ایک اندازا اس اوکل Δh چ '(الف) Δh ذریعے چھوٹے increments میں تقریب کی قدر فراہم کرتا ہے.

لہذا، اس فارمولے حصہ (X = a) اور ایک ہی نقطہ اغاز میں تفریقی کے نقطہ اغاز میں اس کی قیمت کی رقم کے طور پر ایک کی لمبائی Δh کا ایک حصہ کے آخر نقطہ پر تقریب کے لئے ایک اندازا اظہار دیتا ہے. تقریب کی اقدار کا تعین کرنے کے لئے طریقہ کار کی درستگی ذیل میں ڈرائنگ وضاحت کرتا ہے.

تاہم معلوم اور تقریب X = A + Δh کی قدر فارمولے متناہی دھیرے بڑھتا طرف سے دی گئی کے لئے عین مطابق اظہار رائے (یا، متبادل کے طور پر، لاگرینج کی فارمولے)

F (ا + Δh) ≈ چ '(ξ) Δh + F (ا)

اس کے عین مطابق پوزیشن نامعلوم ہے، اگرچہ نقطہ x = a پر + ξ سے X = ایک X = A + Δh تک وقفہ میں کہاں ہے. عین مطابق فارمولا اندازا فارمولے کی غلطی کا اندازہ کرنے کی اجازت دیتا ہے. ہم لاگرینج فارمولے ξ = Δh / 2 میں ڈال دیا ہے تو یہ درست نہیں رہتا، لیکن ایک اصول کے طور پر، فراہم کرتا ہے، تفریقی کے لحاظ سے اصل اظہار کے مقابلے میں ایک زیادہ بہتر نقطہ نظر ہے.

تفریقی لگانے سے تشخیص فارمولوں کی خرابی

پیمائشی آلات ، اصولی طور پر، غلط، اور پیمائش ڈیٹا غلطی کے مطابق لانے کے لئے. وہ محدود کرنے کی خصوصیت ہیں مطلق غلطی، مثبت، واضح طور پر مطلق قدر (یا کم سب سے زیادہ اس کے برابر) کی خرابی سے متجاوز - حد کی خرابی یا، مختصر میں. محدود رشتہ دار غلطی قسیم ماپا قدر کی مطلق قدر کی طرف سے تقسیم کر کے حاصل کہا جاتا ہے.

دو vychislyaeniya Y کرنے کے لئے استعمال عین مطابق فارمولا Y = F (X) کی تقریب، لیکن X کی قدر کی پیمائش نتیجہ ہے، اور اسی وجہ Y غلطی کو لاتا ہے. اس کے بعد، فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، محدود کرنے مطلق غلطی │Δu│funktsii Y تلاش کرنے کے لئے

│Δu│≈│dy│ = │ چ '(x) کے ││Δh│،

جہاں │Δh│yavlyaetsya معمولی غلطی کو دلیل. │Δu│ مقدار، اوپر کی طرف سے گول کیا جانا چاہیے جیسا غلط حساب کتاب خود تفریقی حساب کتاب پر اضافہ کی تبدیلی ہے.